[2014년 정발고]

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[1학년 1학기 중간]

등식 [eqn: x+yi-2i+2=3+2i]을 만족시키는 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값을 구하면? (단, [eqn: i]는 허수단위)

⑤

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

두 다항식 [eqn: A= 2x^2 +xy+y^2], [eqn: B = -x^2 -3xy+y^2]에 대하여 [eqn: A+B]를 계산하면?

①

① [eqn: x^2 -2xy+2y^2]	② [eqn: 3x^2 +4xy]

③ [eqn: 3x^2 +4xy+2y^2]	④ [eqn: x^2 +4xy+2y^2]

⑤ [eqn: 3x^2 -2xy+4y^2]

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값을 구하면?

⑤

[eqn: x^2 -ax+b=(x-1)(cx-2)]

① [eqn: -3]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

다음 중 다항식의 전개가 틀린 것은?

⑤

① [eqn: (x+1)(x^2 -x+1) = x^3 +1]

② [eqn: (x-3)^3 = x^3 -9x^2 +27x -27]

③ [eqn: (x-2)(x^2 +x-1)=x^3 -x^2 -3x+2]

④ [eqn: (a+b-c)^2 =a^2 +b^2 +c^2 +2ab-2bc-2ca]

⑤ [eqn: (x^2 +xy+y^2 )(x^2 -xy+y^2 ) = x^4 -x^2 y^2 +y^4]

다음 이차방정식 중에서 서로 다른 두 허근을 갖는 것은?

②

① [eqn: x^2 +x-1=0]

② [eqn: x^2 -x+3=0]

③ [eqn: x^2 -5x+3 = 0]

④ [eqn: x^2 -6x+5 =0]

⑤ [eqn: 4x^2 -12x+9=0]

연립방정식 [eqn: {cases{xy=2CDOTS ㉠#yz=8 CDOTS ㉡#zx=9 CDOTS ㉢}}]을 만족하는 양수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 [eqn: xyz]의 값을 구하면?

③

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: alpha], [eqn: beta]의 켤레복소수가 각각 [eqn: baralpha], [eqn: barbeta]일 때, [eqn: alpha=1-i], [eqn: beta=2+i]에 대하여 [eqn: baralpha beta +alpha barbeta]의 값을 구하면? (단, [eqn: i]는 허수단위)

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 다항식 [eqn: x ^{4} -17x ^{2} +16], [eqn: x^3 +x^2 - 5x+3]을 각각 인수분해 했을 때 공통인수를 구하면?

②

① [eqn: x+1]	② [eqn: x-1]	③ [eqn: x+3]

④ [eqn: x-4]	⑤ [eqn: x+4]

다항식 [eqn: 2x^3 - 3x^2 +3x+4]을 [eqn: 2x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라고 할 때, [eqn: Q(-1)]의 값을 구하면?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: z= 1+i over1-i]일 때, 다음 식의 값을 구하면? (단, [eqn: i]는 허수단위)

④

[eqn: z+2z^2 +3z^3 +cdots+100z^100]

① [eqn: 25+25i]	② [eqn: 25-25i]	③ [eqn: 50+50i]

④ [eqn: 50-50i]	⑤ [eqn: 100-100i]

이차방정식 [eqn: x^2 - 2x+4=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha^2], [eqn: beta^2]을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 이차방정식을 구하면?

④

① [eqn: x^2 -12x+16=0]	② [eqn: x^2 +12x+16=0]

③ [eqn: x^2 -4x+16=0]	④ [eqn: x^2 +4x+16=0]

⑤ [eqn: x^2 -4x-16 = 0]

포물선 [eqn: y=x^2 +2(k+a+1)x+k^2 +4k+b]가 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 직선 [eqn: y=2x+1]과 접하도록 하는 상수 [eqn: a+b]의 값을 구하면?

①

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: x=1+sqrt2], [eqn: y=1-sqrt2]일 때, [eqn: x^4 (x-y)+y^4 (y-x)]의 값을 구하면?

④

① [eqn: 24sqrt2]	② [eqn: 82]	③ [eqn: 84]

④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 98sqrt2]

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^2 - 2x-3]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: x-1]일 때, 다항식 [eqn: (x+1)P(x)]를 [eqn: x^2 - 2x-3]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: ax+b]이다. 이때, [eqn: ab]의 값을 구하면? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

③

① [eqn: -1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

이차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 이차함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 이차함수 [eqn: 2f(x)+g(x)]의 값이 최소가 되는 [eqn: x]의 좌표는?

②

① [eqn: 3alpha+2beta+gamma over3]	② [eqn: 3alpha+2beta+gamma over6]	③ [eqn: 3alpha-2beta-gamma over3]

④ [eqn: 3alpha-2beta-gamma over6]	⑤ [eqn: 3alpha+2beta-2gamma over6]

사차방정식 [eqn: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24]의 허근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: alpha^2 +beta^2]의 값을 구하면?

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

서술형

방정식 [eqn: x^3 =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라 하자.
[eqn: 1+2omega+3omega^2 +4omega^3 +5omega^4 +6omega^5 +7omega^6]
을 [eqn: a+b omega]의 꼴로 나타낼 때, [eqn: a+b]의 값을 구하려고 한다. 다음 물음에 풀이과정과 답을 서술하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수)

(1) [eqn: w^3 =1], [eqn: w ^{2} +w+1=0]     (2) [eqn: 1]

(1) [eqn: omega^3]와 [eqn: omega^2 +omega+1]의 값을 각각 구하는 과정과 답을 쓰시오.

(2) [eqn: 1+2omega+3omega^2 +4omega^3 +5omega^4 +6omega^5 +7omega^6]을 [eqn: a+b omega]의 꼴로

나타낼 때, [eqn: a+b]의 값을 구하는 과정과 답을 쓰시오.

어떤 직육면체가 모서리의 길이의 합이 [eqn: 40], 겉넓이가 [eqn: 62], 부피가 [eqn: 30]일 때, 다음 물음에 풀이과정과 답을 서술하시오.

(1) [eqn: a+b+c=10], [eqn: ab+bc+ca=31], [eqn: abc=30]
(2) [eqn: x ^{3} -10x ^{2} +31x-30=0]
(3) [eqn: a=5], [eqn: b=3], [eqn: c=2]

(1) 직육면체의 변의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때,

[eqn: a+b+c], [eqn: ab+bc+ca], [eqn: abc]의 값을 각각 구하는

풀이과정과 답을 쓰시오.

(2) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 세 근으로 하고 삼차항의 계수가 [eqn: 1]인

[eqn: x]에 대한 방정식을 세우시오.

(3) (2)의 삼차방정식을 이용하여 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하는

풀이과정과 답을 쓰시오. (단, [eqn: a>b>c])

그림과 같이 폭이 [eqn: 6]이고, 높이가 [eqn: 9]인 포물선 안에 둘레의 길이가 최대인 직사각형을 그리려고 한다. 이 직사각형의 둘레의 길이를 구하려고 할 때, 다음 순서에 따라 풀이과정과 답을 서술하시오.

(1) [eqn: y=-x ^{2} +9]
(2) [eqn: -2a ^{2} +4a+18]， [eqn: 0<a<3]
(3) [eqn: a=1,] 최댓값 : [eqn: 20]

(1) 포물선을 모양 그대로 유지하고 점 [eqn: M]이 원점 [eqn: (0,```0)]으로

가도록 좌표평면으로 옮길 때, 포물선 위의 임의의 점을

[eqn: (x,```y)]로 나타내는 이차함수를 구하는 과정과 답을 쓰시오.

(2) 직사각형과 포물선의 오른쪽 교점을 [eqn: (a,```b)]라 할 때,

직사각형의 둘레를 [eqn: a]에 관한 이차식으로 나타내는 과정과

답을 쓰시고, [eqn: a]값의 범위도 쓰시오.

(3) 직사각형 둘레의 최댓값과 그 때 [eqn: a]의 값을 구하는 과정과

답을 쓰시오.

[2014년 정발고]

[1학년 1학기 중간]

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